2009年高等教育自學(xué)考試離散數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)詞
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1.1.2 聯(lián)結(jié)詞
今后“聯(lián)結(jié)詞”一詞均指邏輯聯(lián)結(jié)詞及其符號(hào)表示。重要的聯(lián)結(jié)詞有5個(gè)，它們已在例1.2中出現(xiàn)。
否定詞(negation)“并非”(not)，用符號(hào)┐表示。設(shè)p表示一命題，那么┐p表示命題p的否定。p真時(shí)┐p假，而p假時(shí)┐p真。┐p讀作“并非p”或“非p”。今后我們用1表示真值“真”，用0表示真值“假”，用類(lèi)似表1.1的所謂真值表來(lái)規(guī)定聯(lián)結(jié)值的意義，描述復(fù)合命題的真值狀況。表1.1規(guī)定了否定詞┐的意義，表示┐p的真值狀況。
表1.1
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p |
┐p |
|
0 |
1 |
例1.3 如果p表示命題“雪是白的”，那么“并非雪是白的”、“雪不是白的”應(yīng)表示為┐p，此時(shí)┐p為假，因?yàn)閜為真。
當(dāng)用否定詞“并非”代替自然語(yǔ)言中的“不”時(shí)(或者反過(guò)來(lái))，應(yīng)注意保持原語(yǔ)句的意義。例如p 表示“我們都是好學(xué)生”時(shí)，┐p表示“并非我們都是好學(xué)生”或“我們不都是好學(xué)生”，而不是“我們都不是好學(xué)生”。
合取詞(conjunction)“并且”(and)，用符號(hào)∧表示。設(shè)p，q表示兩命題，那么p∧q表示合取p和q所得的命題，即p和q同時(shí)為真時(shí)p∧q真，否則p∧q為假。p∧q讀作“p并且q”或“p且q”。
合取詞∧的意義和命題p∧q的真值狀況可由表1.2來(lái)刻劃。
表1.2
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p |
q |
p∧q |
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0 |
0 |
0 |
例1.4 如果p表示命題“你去了學(xué)校”q表示命題“我去了工廠”，那么p∧q表示命題“你去了學(xué)校并且我去了工廠”。p∧q為真，當(dāng)且僅當(dāng)你、我分別去了學(xué)校和工廠。
析取詞(disjunction)“或”(or)用符號(hào)∨表示。設(shè)p，q表示兩命題，那么p∨q表示p和q的析取，即當(dāng)p和q有一為真時(shí)，p∨q為真，只有當(dāng)p和q均假時(shí)p∨q為假。p∨q讀作“p或者q”、“p或q”。
析取詞∨的意義及復(fù)合命題p∨q的真值狀況由表1.3描述。
表1.3
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p |
q |
p∨q |
|
0 |
0 |
0 |
值得注意的是，這里的“或”是所謂可兼的，即當(dāng)p和q均真時(shí)，確認(rèn)p∨q為真。在日常生活中，“或”在有的場(chǎng)合下不同于上述意義。例如“人固有一死，或重于泰山，或輕于鴻毛”。其中的“或”是不可兼的，即當(dāng)發(fā)現(xiàn)有人的死既重于泰山又輕于鴻毛時(shí)，上述論斷被認(rèn)為假。看來(lái)這里的“或”用∨表示不合適，可用表1.4規(guī)定的新聯(lián)結(jié)詞“不可兼或” 表示之。但是，像上述場(chǎng)合一樣的許多場(chǎng)合下，兩個(gè)析取命題事實(shí)上不可能同時(shí)為真，即表1.4的末行根本無(wú)需定義，這時(shí)用∨代替 就沒(méi)有問(wèn)題，并且能使語(yǔ)句的表示簡(jiǎn)化。例如“a>0或a=0或a<0”可表示為“a>0∨a=0∨a<0”，而不必多此一舉地表示為“a>0 a=0 a<0”。
表1.4
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p |
q |
p q |
|
0 |
0 |
0 |
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蘊(yùn)涵詞(implication)“如果……，那么……”(if…then…)，用符號(hào)→表示。設(shè)p，q表示兩命題，那么p→q表示命題“如果p，那么q”。當(dāng)p真而q假時(shí)，命題p→q為假，否則均認(rèn)為p→q為真。p→q中的p稱(chēng)為蘊(yùn)涵前件，q稱(chēng)為蘊(yùn)涵后件。p→q的讀法較多，可讀作“如果p則q”，“p蘊(yùn)涵q”，“p是q的充分條件”，“q是p的必要條件”，“q當(dāng)p”，“p僅當(dāng)q”等等。數(shù)學(xué)中還常把q→p，┐p→┐q，┐q→┐p分別叫做p→q的逆命題，否命題，逆否命題。
表1.5
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p |
q |
p→q |
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0 |
0 |
1 |
例1.6 如果用p表示“天氣好”，q表示“我去接你”，那么p→q表示命題“如果天氣好，那么我去接你”。當(dāng)天氣好時(shí)，我去接了你，這時(shí)諾言p→q真;我沒(méi)去接你，則諾言p→q假。當(dāng)天氣不好時(shí)，我無(wú)論去或不去接你均未食言，此時(shí)認(rèn)定p→q為真是適當(dāng)?shù)摹?/P>
上述規(guī)定的蘊(yùn)涵詞稱(chēng)為實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵(substantive implication)，因?yàn)樗灰髉→q中的p，q有什么關(guān)系，只要p，q為命題，p→q就有意義。例如“如果2+2=5，那么雪是黑的”，就是一個(gè)有意義的命題，且據(jù)定義其真值為“真”。蘊(yùn)涵詞的這種規(guī)定形式，在討論數(shù)學(xué)問(wèn)題和邏輯問(wèn)題時(shí)是正確的、充分的，但在某些情況下顯得有些不足，為此不少人對(duì)其它規(guī)定形式的蘊(yùn)涵詞有興趣，對(duì)此本書(shū)不予介紹。
雙向蘊(yùn)涵詞(two-way implication)“當(dāng)且僅當(dāng)”(if and only if)，用符號(hào)?表示之。設(shè)p，q為兩命題，那么p?q表示命題“p當(dāng)且僅當(dāng)q”，“p與q等價(jià)”，即當(dāng)p與q同真值時(shí)p?q為真，否則為假。p?q讀作“p雙向蘊(yùn)涵q”，“p當(dāng)且僅當(dāng)q”，“p等價(jià)于q”。由于“當(dāng)且僅當(dāng)”“等價(jià)”常在其它地方使用，因而用第一種讀法更好些。
雙向蘊(yùn)涵詞的意義及p?q的真值狀況由表1.6給出。
表1.6
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p |
q |
p«q |
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0 |
0 |
1 |
例1.7 如果p表示命題“△ABC@△A'B'C'”，q表示命題“△ABC與△A'B'C'的三邊對(duì)應(yīng)相等”，那么p?q表示平面幾何中的一個(gè)真命題，因?yàn)閜真時(shí)q顯然真，p假時(shí)q亦必然假，故p與q同真值。若q表示命題“△ABC與△A'B'C'的三內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等”，那么p?q不再是恒真的了，因p假時(shí)q未必為假。
以上介紹的是五個(gè)最常用、最重要的聯(lián)結(jié)詞，自然語(yǔ)言中還有其它聯(lián)結(jié)詞，有的可以直接用它們中的一個(gè)來(lái)表示，例如“也”等同于“且”，“除非”等同于“當(dāng)且僅當(dāng)”;有的則可以用它們中的若干個(gè)來(lái)表示，例如“不可兼或”可用∨，∧與┐來(lái)表示。
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